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CAPÍTULO 1 ¿CÓMO PUEDE MEDIRSE EL AGUA?
(1ª semana)
Antes de introducirnos en las medidas y los números, y después de leer y/o discutir los objetivos didácticos y contenidos de la Unidad didáctica se propone la siguiente actividad con la técnica de “lluvia de ideas” que el profesor explicará:
• Cita de viva voz las ideas o conceptos que te vengan a la mente, relacionados con la Unidad que vas a desarrollar.
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La medida y los números
Desde el ser humano de Cromañon hasta el moderno no ha habido ninguna modificación fundamental del cerebro, sino un enriquecimiento cultural que pasa de generación a generación y se aumenta.
De todas las invenciones humanas, la más universal es el sistema de numeración que tenemos. Mientras que existen más de cuatro mil lenguas y varias decenas de alfabetos y sistemas de escritura, hoy sólo existe un sistema de numeración escrita. En pocas palabras, las cifras constituyen el único lenguaje universal. Los que consideran a las cifras como algo completamente inhumano deberían reflexionar sobre ello.
Esta invención humana ha tenido una historia muy larga:
* aprender a contar
* inventar el número
* asignar símbolos gráficos a los números: cifras
* establecer sistemas de numeración
El sistema de numeración que nosotros utilizamos ahora es el sistema decimal de posición. Tiene la ventaja de usar pocas cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), pero con significados distintos según el lugar que ocupen. Así la cifra 7 significa 7 unidades en el número 87, pero significa 70 unidades en el 473.
El descubrimiento del principio de posición ha permitido también ampliar el concepto de números a: fracciones, decimales, irracionales...
Actualmente los números los utilizamos para contar , para ordenar , para medir y para calcular.
En esta unidad didáctica vamos a intentar conocer algo más sobre los números: comprenderlos, usarlos en diferentes situaciones, hacer operaciones con ellos, aunque a lo largo de todas las unidades que trabajemos en esta asignatura será dónde consigamos aprender un mejor manejo de ellos.
• En los casos siguientes ¿qué es lo que se hace: contar, ordenar, medir o calcular? ¿Por qué?
- Alguien mira un calendario y mira los días que faltan para las vacaciones.
- Miras el termómetro para ver la temperatura que hay en la habitación.
- El tutor o la tutora a principio de curso te da el horario de clases.
- Un señor halla lo que tiene que pagar al cajero de un supermercado después de haber hecho la compra.
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Números enteros, racionales e irracionales
• ¿Qué tipos de números conoces? ¿Para qué crees que fue necesario inventar cada uno de ellos?
• Expresa con un número lo siguiente:
- La temperatura en una noche de invierno: tres grados y medio bajo cero.
- La cuenta corriente de María está en números rojos: debe 550 €.
- Un agricultor va a destinar la onceava parte de su terreno ( 1.042 m 2 ) a plantar lechugas.
- La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 m .
Los números enteros incluyen los números naturales, sus opuestos ( es decir, los negativos) y el cero. El conjunto de números enteros se designa por Z. Su representación es así: |
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Los números fraccionarios junto con los enteros forman el conjunto de los números racionales.
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Introducción a las potencias
• El inventor del ajedrez en la india, se lo mostró al rey Shirham, el cual quedó tan entusiasmado, que le ofreció regalarle lo que pidiera. El inventor le pidió lo siguiente: un grano por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad de la anterior hasta llegar a la última.
El rey se extrañó de lo poco con que se conformaba, pero ordenó que le dieran lo que pedía. Sólo cuando sus contables echaron cuentas, vieron, asombrados, que no había trigo en el reino, ni siquiera en toda la tierra, para juntar esa cantidad.
¿Cuántos granos de trigo habrá que poner en la casilla 64?
• Al tostar café, éste pierde 1/5 de su peso. Para obtener una tonelada de café tostado ¿cuánto café se necesitará?
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Sistema métrico decimal
Antiguamente cada país tenía sus propias unidades de medida y eso representaba grandes problemas. Había unidades con el mismo nombre que tenían valores diferentes según el lugar donde se empleaban. Así una vara española medía 0,835 m y en cambio, una vara portuguesa valía 1,10 m . En Inglaterra un pie equivalía a 30,48 cm y en España, un pie medía 27,86 cm . Imagínate la confusión que esto suponía. La relación entre las distintas unidades era bastante curiosa. Por ejemplo una vara era igual a 3 pies y un pie era lo mismo que 12 pulgadas . 125 pasos constituían 1 estadio, y 8 estadios valían 1 milla . Los cálculos eran muy liosos.
En 1791, tras la revolución francesa, se establece en Francia un sistema métrico que fija la utilización de un patrón único para las magnitudes de longitud y masa: el metro y el kilogramo. Además se decide el uso de potencias de diez para formar múltiplos y divisores, así como la elección de prefijos que designen esas potencias. Este sistema de medidas recibirá el nombre de sistema métrico decimal.
Paulatinamente, el sistema métrico decimal se va extendiendo fuera de Francia al tiempo que se amplía a otras magnitudes y se perfeccionan las definiciones de los patrones utilizados, según aumenta la precisión de los aparatos de medida.
Por ello en un intento de unificación, en la Conferencia de Pesas y Medidas de París, en 1960, se aceptó como Sistema Internacional de Unidades (S.I.) el que había propuesto, a principios de este siglo, el italiano Giorgi. Este S.I. entró en vigencia en España en 1967.
Por convenio, los símbolos de las unidades se escriben con minúscula (excepto cuando se derivan de un nombre propio), no van seguidos de punto, y permanecen invariables en plural. De las 7 unidades básicas o fundamentales nos interesan ahora tres, metro, segundo y kilogramo. A partir de ellas se determinan las demás llamadas magnitudes secundarias o derivadas.
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| Magnitudes básicas o fundamentales |
Unidades fundamentales (S.I.) y símbolos |
Otras unidades importantes (símbolos) |
| Longitud |
metro (m) |
km, cm, mm. |
| Masa |
kilogramo (kg) |
g, mg |
| Tiempo |
segundo (s) |
hora, día, año |
| Temperatura |
kelvin (K) |
ºC, ºF |
| Cantidad de sustancia |
mol |
kmol, |
| Corriente eléctrica |
amperio (A) |
mA |
| Intensidad luminosa |
candela (cd) |
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Magnitudes secundarias o derivadas |
Unidades secundarias y símbolos |
Otras unidades importantes (símbolos) |
| Superficie |
metro cuadrado (m 2 ) |
hm 2 , dam 2 , cm 2 |
| Volumen |
Metro cúbico (m 3 ) |
dm 3 , cm 3 |
| Densidad |
Kilogramo partido metro cúbico (kg/m 3 ) |
g/cm 3 |
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Son otras magnitudes derivadas: fuerza, presión, velocidad, energía, potencia, aceleración, resistencia eléctrica, voltaje, ...
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Operaciones con potencias de diez
El SMD utiliza para cambiar de una unidad a otra de la misma magnitud como factor de conversión el 10 o potencia de diez positivas o negativas. Recuerda que una potencia es un producto múltiple de una cantidad consigo misma tantas veces como marque su exponente.
Ejemplo: 10·10·10·10·10 = 10 5
En este sistema, los múltiplos y submúltiplos de las unidades, tanto fundamentales como derivadas son los que se indican (excepto para el tiempo que no adopta el sistema decimal de unidades):
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| MÚLTIPLOS (Sistema métrico decimal): |
Prefijos Símbolo Equivalencia, factor de multiplicación
tera T 10 12 = 1 000 000 000 000 (billón)
giga G 10 9 = 1 000 000 000 (mil millones)
mega M 10 6 = 1 000 000 (millón)
kilo k 10 3 = 1 000 (mil)
hecto h 10 2 = 100 (cien)
deca da 10 1 = 10 (diez) |
| SUBMÚLTIPLOS (Sistema métrico decimal): |
Prefijos Símbolo Equivalencia, factor de multiplicación
deci d 10 -1 = 0,1 (décima)
centi c 10 -2 = 0,01 (centésima)
mili m 10 -3 = 0,001 (milésima)
micro m 10 -6 = 0,000 001 (millonésima)
nano n 10 -9 = 0,000 000 001 (mil millonésima)
pico p 10 -12 = 0,000 000 000 001 (billonésima)
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Actividad web: potencias
• http://www.aplicaciones.info/decimales/poten01.htm
• http://www.aplicaciones.info/decimales/poten02.htm
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Conviene recordar alguna de las propiedades generales de las potencias aplicables a todas las potencias de diez:
• Exponente cero. Ej. a 0 = 1; 10 0 : 1.
• Exponente unidad. Ej. a 1 = A; 10 1 =10.
• Exponente positivo. Ej. a 4 = a·a·a·a; 10 4 = 10.000
• Exponente negativo. Ej.  ; 
• Producto de potencias de igual base. Ej. a 2 · a -5 = a [2+(-5)] = a -3 ; 10 2 · 10 -5 = 10 [2+(-5)] = 10 -3 = 0,001
• Cociente de potencias de igual base. Ej. a 6 /a 4 = a (6-4) = a 2 ; 10 6 /10 4 = 10 (6-4) = 10 2 = 100 (Ojo no se puede operar con suma ni resta de potencias)
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PARA LA MASA :
Megagramo o tonelada (Mg) |
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Kilogramo (kg) |
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Hectogramo (hg) |
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Decagramo (dag) |
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Gramo (g) |
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Decigramo (dg) |
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Centigramo (cg) |
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Miligramo (mg) |
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Microgramo ( m g) |
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Actividad web: cambios de unidades
Puedes practicar con los ejercicios interactivos en estas direcciones de Internet:
• Medidas y unidades de masa: http://www.aplicaciones.info/decimales/siste03.htm
• Medidas y unidades de longitud: http://www.aplicaciones.info/decimales/siste01.htm
• Medidas y unidades de capacidad: http://www.aplicaciones.info/decimales/siste02.htm
• Medidas y unidades de superficie: http://www.aplicaciones.info/decimales/siste04.htm
• Medidas y unidades de volumen: http://www.aplicaciones.info/decimales/siste05.htm
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Cambios de unidades
• Realiza los siguientes ejercicios de cambios de unidades:
a) Reduce a metros y después realiza la suma: ( 7 km , 8 dam, 5 m ) + (9 Hm, 6 dm)
b) Pasa todo a la unidad fundamental del S.I. y realiza la suma: 50 kg + 800 g + 400 mg
• Ordena de mayor a menor las siguientes cantidades (recuerda que para compararlas hay que pasarlas a la misma unidad): 4 000 gramos ; 3,56 Kg ; 3 600 000 mg.
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| A.9. Completa el cuadro: |
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Notación científica |
| 26,4 m 3 |
dm 3 |
dm 3 |
| 2,35 dm |
hm |
hm |
| 2,8 kg |
dg |
dg |
| 1,079 dal |
ml |
ml |
| 406,025 m 2 |
cm 2 |
cm 2 |
| 0,0210 dm |
km |
km |
| 10 km |
dm |
dm |
| 0,08 dm 3 |
dl |
dl |
| 8,3 cg |
kg |
kg |
| 45633 s |
h |
h |
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